نرم افزار متلب MATLAB روش های مختلفی برای حل مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال، حل معادلات دیفرانسیلی با هر درجه ای و محاسبه حدها فراهم می کند. از همه مهم تر، شما به راحتی می توانید نمودار های توابع پیچیده را ترسیم کنید و حداکثر، حداقل و سایر نقاط ثابت را در یک گراف با حل تابع اصلی و همچنین مشتق آن را بررسی کنید.

این فصل با مسائل حساب دیفرانسیل حل خواهد شد. در این فصل، ما درباره مفاهیم پیش تعریف شده، یعنی محاسبه حدهای توابع و بررسی ویژگی های حدها بحث خواهیم کرد.

در فصل بعدی دیفرانسیل Differential، مشتق عبارت را محاسبه خواهد شد و حداکثر و حداقل را در یک گراف پیدا خواهیم کرد. همچنین در مورد حل معادلات دیفرانسیل بحث خواهیم کرد.

در نهایت، در فصل انتگرال Integration ، در مورد نحوه حساب انتگرال مورد بحث خواهد شد.

محاسبه حدها

MATLAB توابع حد برای محاسبه حدها را فراهم می کند. در پایه ای ترین فرم آن، تابع حد، به عنوان یک عبارت بیان می شود و حد عبارات را پیدا می کند به عنوان متغیر مستقل به صفر میل می کند.

به عنوان مثال، اجازه دهید که حد یک تابع (f (x) = (x3 + 5) / (x4 + 7 را محاسبه کنیم، به طوری که x به صفر نزدیک می شود.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

متلب MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و و حد تابع را به صورت زیر برمی گرداند –

ans =
   ۵/۷

تابع حد در قلمرو محاسبات نمادین قرار می گیرد؛ شما باید استفاده از تابع syms برای MATLAB  مشخص کنید که کدام متغیر نمادین است. شما همچنین می توانید حد یک تابع را زمانی که متغیر غیر از صفر میل میکند، محاسبه کنید. برای محاسبه حد  ((_x->a(f(x ما از دستور limit با عبارت استفاده می کنیم. اولین علامت است و دوم عدد است که x به سمت آن میل میکند، در اینجا a است.

به عنوان مثال، محاسبه حد تابع (f (x) = (x-3) / (x-1، زمانی که x به سمت ۱ میل کند.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   NaN

مثال دیگری در نظر بگیرید:

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   ۱۴

بررسی ویژگی های اساسی حد ها

تئوری حد جبری برخی خصوصیات اساسی حدها را فراهم می کند. به شرح زیر است –

دو تابع را در نظر بگیرید:

• (f(x) = (3x + 5)/(x – 3
• g(x) = x^۲ + ۱.

حد های توابع را زمانی که x به ۵ میل میکند برای هر دو تابع محاسبه کنیم و ویژگی های اساسی حد ها را با استفاده از این دو توابع و MATLAB بررسی کنیم.

مثال
یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را در آن وارد کنید –

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

هنگامی که شما فایل را اجرا می کنید، نتایج زیر را نمایش می دهد –

l1 =
   ۱۷
  
l2 =
   ۱۷
  
lAdd =
   ۳۴
 
lSub =
   ۰
  
lMult =
   ۲۸۹
  
lDiv =
   ۱

حد های چپ و راست

وقتی یک تابع برای برخی از نفاط خاص پیوستگی ندارد، حد در آن نقطه وجود ندارد. به عبارت دیگر، حد یک تابع (f (x دارای ناپیوستگی در x = a است، زمانی که مقدار حد ، زمانی  حد چپ یا راست در نقطه a=x برای تابع با مقدار موجود در همان نقطه برابر نیست. این مفهوم از حدهای دست چپ و راست دست می آید. حد چپ به صورت x -> a تعریف شده از سمت چپ، به معنی x از مقادیر x <a به سمت a نزدیک می شود. حد دست راست به عنوان حد x -> a، از سمت راست، یعنی x برای مقادیر x> a،  به a  نزدیک می شود. هنگامی که حد دست چپ و راست برابر نباشند ، حد وجود ندارد.

تابع زیر را در نظر بگیرید:

|f(x) = (x – 3)/|x – 3

ما نشان خواهیم داد که  (lim_x->3 f(x وجود ندارد. MATLAB به ما کمک می کند تا این واقعیت را به دو صورت ایجاد کنیم –

• با ترسیم نمودار تابع و نشان دادن ناپیوستگی
• با محاسبه حدهای چپ و راست و نشان دادن تفاوت آن ها.

حدهای سمت چپ و راست با قرار دادن  از رشته های “چپ” و “راست” در  دستور حد به عنوان آخرین آرگومان محاسبه می شود.

مثال
یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را در آن وارد کنید –

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

هنگامی که فایل را اجرا می کنید، MATLAB طرح زیر را ترسیم می کند

پس از این خروجی زیر نمایش داده می شود –

l =
   -۱
  
r =
   ۱