در این پست حل معادلات جبری پایه در MATLAB متلب را به صورت مفصل توضیح داده خواهد شد. همچنین در مورد تقسیم بندی و ساده سازی عبارات جبری بحث خواهیم کرد.

حل معادلات جبری پایه در MATLAB

فانکشن solve برای حل معادلات جبری استفاده می شود. در ساده ترین شکل، فانکشن solve یک معادله را به یه صورت یک آرگومان محاط شده در نقل قول (کوتیشن) می گیرد.

به عنوان مثال، بگذارید برای x در معادله x-5 = 0 حل کنیم:

solve('x-5=0')

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   ۵

شما همچنین می توانید فانکشن solve  را به صورت زیر فراخوانی کنید:

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

y =
   ۵

نحوه وارد کردن شما حتی ممکن است سمت راست معادله را شامل نشود –

solve('x-5')

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   ۵

اگر معادله شامل چندین نماد باشد، سپس به طور پیش فرض MATLAB فرض می کند که شما برای x حل می کنید، با این حال، فانکشن solve دارای شکل دیگری است –

solve(equation, variable)

که، شما می توانید متغیر را ذکر کنید.

به عنوان مثال، اجازه دهید ما معادله v – u – ۳t^۲ = ۰ را برای v حل کنیم. در این مورد باید نوشت –

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   ۳*t^2 + u

حل معادلات درجه دوم در MATLAB

فانکشن solve همچنین می تواند معادلات مرتبه بالاتر را حل کند. این اغلب برای حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. فانکشن ریشه های معادله را در یک آرایه بر می گرداند.

مثال زیر حل معادله درجه دوم x^۲ -۷x +12 = 0 را حل می کند. یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را تایپ کنید –

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

هنگام اجرای فایل، نتیجه زیر نمایش داده می شود –

The first root is: 
   ۳
The second root is: 
   ۴

حل معادلات مرتبه بالاتر در MATLAB

فانکشن solve همچنین می تواند معادلات مرتبه بالاتر را حل کند. به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله مکعبی را به صورت  x-3)^۲(x-7) = 0) حل کنیم.

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB دستور بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را برمی گرداند –

ans =
   ۳
   ۳
   ۷

در صورتی که معادلات مرتبه بالاتر باشد، ریشه های طولانی شامل بسیاری از ترم ها است.

مثال زیر معادله مرتبه چهارم x^۴ − ۷x^۳ + ۳x^۲ − ۵x + 9 = 0 را حل می کند.

یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را تایپ کنید –

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

هنگامی که فایل را اجرا می کنید، نتیجه ی زیر را برمی گرداند:

The first root is: 
۶.۶۳۰۳۹۶۳۳۲۳۹۰۷۱۸۴۳۱۴۸۵۰۵۳۲۱۸۹۸۵
 The second root is: 
۱.۰۵۹۷۸۰۴۶۳۳۰۲۵۸۹۶۲۹۱۶۸۲۷۷۲۴۹۹۸۸۵
 The third root is: 
- ۰.۳۴۵۰۸۸۳۹۷۸۴۶۶۵۴۰۳۰۳۲۶۶۶۵۲۳۴۴۸۶۷۵ - ۱.۰۷۷۸۳۶۲۹۵۴۶۳۰۱۷۶۵۹۶۸۳۱۱۰۹۲۶۹۷۹۳*i
 The fourth root is: 
- ۰.۳۴۵۰۸۸۳۹۷۸۴۶۶۵۴۰۳۰۳۲۶۶۶۵۲۳۴۴۸۶۷۵ + ۱.۰۷۷۸۳۶۲۹۵۴۶۳۰۱۷۶۵۹۶۸۳۱۱۰۹۲۶۹۷۹۳*i
Numeric value of first root
   ۶.۶۳۰۴
Numeric value of second root
   ۱.۰۵۹۸
Numeric value of third root
   -۰.۳۴۵۱ - ۱.۰۷۷۸i
Numeric value of fourth root
   -۰.۳۴۵۱ + ۱.۰۷۷۸i

لطفا توجه داشته باشید که دو ریشه دو عدد پیچیده هستند.

حل دستگاه معادلات در MATLAB

فانکشن solve نیز می تواند برای تولید راه حل سیستم های معادلات شامل بیش از یک متغیر استفاده شود. اجازه دهید ما یک نمونه ساده برای نشان دادن مطلب استفاده کنیم.

اجازه دهید ما معادلات را حل کنیم –

۵x + 9y = 5

۳x – ۶y = 4

یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را تایپ کنید –

s = solve('۵*x + 9*y = 5','۳*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

هنگام اجرای فایل، نتیجه زیر نمایش داده می شود –

ans =
   ۲۲/۱۹
ans =
   -۵/۵۷

به همان شیوه، شما می توانید سیستم های خطی بزرگ تر را حل کنید. مجموعه معادلات زیر را در نظر بگیرید:

x + 3y -2z = 5

۳x + 5y + 6z = 7

۲x + 4y + 3z = 8

 توسعه و مدون کردن معادلات در MATLAB

فانکشن های expand و collect به ترتیب گسترش می دهد و مدون می کند. مثال زیر مفاهیم را نشان می دهد –

هنگامی که شما با بسیاری از توابع نمادین کار می کنید، باید اعلام کنید که متغیرهای شما نمادین هستند.

یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را تایپ کنید –

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

هنگام اجرای فایل، نتیجه زیر نمایش داده می شود –

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   ۲*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

فاکتور گیری و ساده سازی عبارات جبری

فانکشن factor حالت فاکتورگیری و فانکشن simplify حالت ساده یک عبارت را بیان می کند. مثال زیر این مفهوم را نشان می دهد:

یک فایل اسکریپتی ایجاد کنید و کد زیر را تایپ کنید –

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

هنگام اجرای فایل، نتیجه زیر نمایش داده می شود –

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4